Введение

В этом ИДЗ мы проведём полный расчёт балочки с жёсткой заделкой справа (рис.1) под действием произвольной системы изгибающих моментов, сосредоточенных сил, постоянных и линейно распределённых нагрузок, расположенных в вертикальной плоскости.

Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс сопротивления материалов. Прямо из этого пособия Вы можете посчитать своё ИДЗ, даже если у Вас нет на компьютере MATLAB. Если же у Вас есть MATLAB, перейдите на эту страницу: там у Вас есть возможность вмешаться в сценарий (программу) вычислений. Здесь же выполнение ИДЗ проводится по стандартному сценарию, который обычно используется в вузах при изучении курса сопромата.

Для правильной работы с этой страницей Ваш браузер должен поддерживать сценарии Java Script. Включите их.

Данное пособие позволит вам упростить выполнение ИДЗ. Как и любой помощник, оно не избавляет вас от необходимости думать. Используя это пособие, вы получите техническую помощь, избавитесь от досадных ошибок вычислений, но понимать существо проблемы вы всё равно должны. Но не пугайтесь: если вы смогли найти эту страницу в Internet, то разобраться в выполнении этого задания сможете наверняка.

Выберем систему координат так, как показано на рис.2.

Начало координат O поместим на левом краю (на свободном конце), ось Oz направим вдоль оси балки, а оси Ox и Oy − вдоль главных центральных осей инерции. Все силовые факторы считаем действующими в плоскости yOz, как показано на рис.2.

Будем использовать правило знаков плюс-плюс-плюс-плюс:

В соответствии с [1] выберем положительное направление прогиба w(z) вверх, в сторону положительного направления оси Oy, а отрицательное − вниз (рис.3).

Тогда положительные значения углов поворота θ(z) будут соответствовать возрастанию прогиба w(z), а отрицательные − убыванию (рис.4).

Изгибающий момент − это вторая производная от прогиба (с точностью до положительного множителя) и первая производная от угла поворота θ(z) (опять-таки с точностью до положительного множителя); поэтому положительное значение момента M(z) соответствует увеличению угла поворота θ(z), т.е. изгибу балочки выпуклостью вниз, а отрицательный M(z) − изгибу выпуклостью вверх (рис.5).

При построении эпюр мы будем разрезать балку в данном сечении z, отбрасывать левую часть и заменять её эквивалентной системой сил и моментов. Положительное значение M(z) (выпуклостью вниз) при этом даст момент, направленный по часовой стрелке (рис.6).

Поэтому в исходных данных сосредоточенные моменты будем задавать положительными, если они направлены по часовой стрелке.

Теперь рассмотрим правило знаков для перерезывающих сил. В соответствии с (3) положительной будем считать такую силу Q(z), которая соответствует возрастанию изгибающего момента M(z) при увеличении z. Наглядно представить себе увеличение вогнутости трудно, поэтому применим другое правило для определения знака Q(z). Заменим отрезанную левую часть такой силой, которая соответствует увеличению M(z) (рис.7). Т.к. момент равен произведению силы на плечо, то положительное значение сосредоточенной силы соответствует направлению её вверх. Такая сила стремится повернуть элемент балки по часовой стрелке.

И, наконец, выведем правило знаков для распределённой нагрузки q(z). Положительная q(z) соответствует возрастанию перерезывающей силы Q(z). На рис.8 показано положительное направление q(z): вверх. Именно такое направление q(z) соответствует возрастанию Q(z).

Итак, подытожим всё вышесказанное. При задании исходных данных будем считать:

При построении эпюр будем руководствоваться формулами (1-4). Считаем:

Ввод исходных данных

В данном методическом пособии можно использовать такие нагрузки:

Если в вашем вузе преподаватели задают студентам другие виды нагружения (распределённые моменты и т.п.) − напишите мне, и мы вместе доработаем это пособие.

Исходными данными для выполнения этого ИДЗ являются длина балочки L и нагрузка на неё: значения M, F, q и точки (интервалы) их приложения. Для подбора двутаврового сечения из условий прочности нужно также задать модуль упругости E и допускаемое напряжение [σ]. Задайте их в нижеприведенных областях ввода.

Измените при необходимости эти данные:
Длина балочки L (м):
Модуль упругости E (МПа):
Допускаемое напряжение [σ] (МПа):
Добавьте нужные нагрузки:
Изгибающий момент M
и точка a его приложения
M (кНм):
a (м):
Сосредоточенная сила Q
и точка a её приложения
Q (кН):
a (м):
Линейно распределённая нагрузка (qa, qb)
и интервал (a, b) её приложения.
Для равномерной нагрузки задавайте qa = qb.
qa (кН/м):
qb (кН/м):
a (м):
b (м):

Проверьте, правильно ли вы задали исходные данные. Если да, то идём дальше.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Наша балочка является статически определимой: неизвестные реакции опор могут быть найдены из уравнений статики. Всего таких уравнений в плоском случае 3, но одно из них (сумма проекций всех сил на ось Oz равна нулю) обращается в тождество. Остаётся 2 уравнения: сумма проекций всех сил на ось Oy равна нулю и сумма моментов всех сил относительно какой-либо точки равна нулю. Нам здесь удобно считать сумму моментов относительно точки O:

Из этих уравнений можно найти неизвестные реакции в заделке, но нам нет смысла этого делать: т.к. мы будем строить эпюры, отбрасывая часть балки слева от данного сечения, эти реакции получатся автоматически. Поэтому переходим сразу к построению эпюр. На каждом участке эпюры M(z) и Q(z) имеют своё аналитическое выражение. Найдём общее число участков и точки переключения аналитических выражений. Этими точками будут начало и конец балочки (т.е. 0 и L), и все точки приложения всех нагрузок (для q берём и начало, и конец приложения нагрузки).

Строим эпюру перерезывающих сил. Чтобы получить Q(z) в каждом сечении z, суммируем все силы слева от него:

где

угловой коэффициент k-й распределённой нагрузки. Для постоянной распределённой нагрузки он равен нулю. В первой сумме ak − точка приложения сосредоточенной силы Fk; в остальных суммах ak и bk − начало и конец приложения распределённой нагрузки. Значения сосредоточенных сил − это Fk, а qak и qbk − значения распределённой нагрузки в начале и конце каждого участка. Записываем аналитические выражения для Q(z) на каждом участке и строим график.

Теперь переходим к изгибающим моментам. Формула для их вычисления в каждом сечении − это сумма моментов от всех сил, расположенных слева от данного сечения:

Смысл ak, bk и ck − тот же, что и в предыдущей формуле. Записываем аналитические выражения для M(z) на каждом участке и строим эпюру.

Подбор сечения по условиям прочности

Найдём максимальный (по модулю) изгибающий момент Mmax и сечение, в котором он достигается (опасное сечение).

Из соотношения:

находим минимально допустимый момент сопротивления сечения:

Проверим теперь касательные напряжения. В каждом сечении они подсчитываются по формуле Журавского:

Найдём касательные напряжения в двух сечениях: в том, где максимален изгибающий момент, и в том, где максимальна перерезывающая сила.

Как правило, касательные напряжения значительно меньше нормальных в одном и том же сечении, к тому же они достигаются на разных волокнах: нормальные − на крайних, а касательные − в середине сечения. Поэтому опасными является обычно нормальные напряжения.

Нарисуем распределение нормальных и касательных напряжений по сечению. Нормальные напряжения распределены линейно, а касательные − по параболе. Мы строим эпюру распределения касательных напряжений приближённо: заменяем двутавр набором прямоугольников. Вычисляем по формуле (12) напряжения в крайних волокнах тонкой вертикальной стойки и во внутренних волокнах широкой горизонтальной полки. На стойке строим параболу, а на короткой полке ограничимся прямолинейным отрезком. Рисуем сечение, распределение нормальных и касательных напряжений в опасном сечении (там, где достигается Mmax), и распределение касательных напряжений в том сечении, где достигается Qmax.

Построение эпюр прогибов и углов поворота

Прогибы и углы поворота связаны с изгибающими моментами соотношениями (1-2). Выражения для M(z) у нас есть: это (9). Поэтому EJxθ(z) и EJxw(z) найдём интегрированием выражения (9). Произвольные постоянные при этом будут равны неизвестным перемещению и углу поворота начального сечения EJxθ(0) и EJxw(0). Интегрируем:

Неизвестные начальные параметры EJxw(0) и EJxθ(0) найдём из условий: прогиб и угол поворота в заделке (при x=L) равны нулю:

Исходя из формулы (13), составляем уравнение (16). Решив его, найдём EJxθ(0).

Теперь, исходя из формулы (14), составляем уравнение (15) и решаем его. Находимм EJxw(0).

По полученным начальным параметрам и формулам (13-14) строим эпюры углов поворота и перемещений. Как обычно, вначале формируем аналитические выражения для EJxθ(z) и EJxw(z) на различных участках, а затем строим графики. Находим максимальное перемещение и точку, в которой оно достигается.

Что делать дальше

Возможно, Вы захотите распечатать результаты. Если перебросить содержимое, например, в Office-Word, то формулы и графики исказятся, т.к. они сделаны не в виде рисунков, а в виде встроенных объектов. Поэтому лучше распечатывать страницу непосредственно из обозревателя.

Литература

  1. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.: Отв. Ред. Писаренко Г.С. − 2-е изд., перераб. и доп. − Киев: Наукова думка, 1988. − 736 с. − ISSN 5-12-000299-4.