Введение

В этом ИДЗ мы проведём полный расчёт балки на упругом основании (рис.1), находящейся под действием произвольной системы изгибающих моментов, сосредоточенных сил и равномерно распределённых нагрузок, расположенных в вертикальной плоскости.

Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс сопротивления материалов. Прямо из этого пособия Вы можете посчитать своё ИДЗ, даже если у Вас нет на компьютере MATLAB. Если же у Вас есть MATLAB, перейдите на эту страницу: там у Вас есть возможность вмешаться в сценарий (программу) вычислений. Здесь же выполнение ИДЗ проводится по стандартному сценарию, который обычно используется в вузах при изучении курса сопромата.

Для правильной работы с этой страницей Ваш браузер должен поддерживать сценарии Java Script. Включите их.

Данное пособие позволит вам упростить выполнение ИДЗ. Как и любой помощник, оно не избавляет вас от необходимости думать. Используя это пособие, вы получите техническую помощь, избавитесь от досадных ошибок вычислений, но понимать существо проблемы вы всё равно должны. Но не пугайтесь: если вы смогли найти эту страницу в Internet, то разобраться в выполнении этого задания сможете наверняка.

Граничные условия на каждом краю могут быть одного из трёх типов:

  1. жёсткая заделка;
  2. шарнир;
  3. свободный край.

Выберем систему координат так, как показано на рис.2.

Начало координат O поместим на левом краю, ось Oz направим вдоль оси балки, а оси Ox и Oy − вдоль главных центральных осей инерции. Все силовые факторы считаем действующими в плоскости yOz, как показано на рис.2.

Будем использовать правило знаков плюс-плюс-плюс-плюс:

В соответствии с [1] выберем положительное направление прогиба w(z) вверх, в сторону положительного направления оси Oy, а отрицательное − вниз (рис.3).

Тогда положительные значения углов поворота θ(z) будут соответствовать возрастанию прогиба w(z), а отрицательные − убыванию (рис.4).

Изгибающий момент − это вторая производная от прогиба (с точностью до положительного множителя) и первая производная от угла поворота θ(z) (опять-таки с точностью до положительного множителя); поэтому положительное значение момента M(z) соответствует увеличению угла поворота θ(z), т.е. изгибу балочки выпуклостью вниз, а отрицательный M(z) − изгибу выпуклостью вверх (рис.5).

При построении эпюр мы будем разрезать балку в данном сечении z, отбрасывать левую часть и заменять её эквивалентной системой сил и моментов. Положительное значение M(z) (выпуклостью вниз) при этом даст момент, направленный по часовой стрелке (рис.6).

Поэтому в исходных данных сосредоточенные моменты будем задавать положительными, если они направлены по часовой стрелке.

Теперь рассмотрим правило знаков для перерезывающих сил. В соответствии с (3) положительной будем считать такую силу Q(z), которая соответствует возрастанию изгибающего момента M(z) при увеличении z. Наглядно представить себе увеличение вогнутости трудно, поэтому применим другое правило для определения знака Q(z). Заменим отрезанную левую часть такой силой, которая соответствует увеличению M(z) (рис.7). Т.к. момент равен произведению силы на плечо, то положительное значение сосредоточенной силы соответствует направлению её вверх. Такая сила стремится повернуть элемент балки по часовой стрелке.

И, наконец, выведем правило знаков для распределённой нагрузки q(z). Положительная q(z) соответствует возрастанию перерезывающей силы Q(z). На рис.8 показано положительное направление q(z): вверх. Именно такое направление q(z) соответствует возрастанию Q(z).

Итак, подытожим всё вышесказанное. При задании исходных данных будем считать:

При построении эпюр будем руководствоваться формулами (1-4). Считаем:

Краткие теоретические сведения

В соответствии с [1] выведем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Это уравнение имеет вид: вторая производная от изгибающего момента (т.е. EJxwIV(z)) равна сумме всех распределённых нагрузок в данном сечении на единицу длины. Такими нагрузками будут внешние силовые факторы и реакция упругого основания. Коэффициент жёсткости упругого основания c − это сила, с которой действует упругое основание на единицу площади нижней поверхности балки при единичном прогибе основания. Поэтому размерность c будет Н/м3. Если обозначить ширину нижней поверхности балки через b, то

− это сила, с которой действует упругое основание на единицу длины балки при единичном прогибе. Размерность α будет Н/м2. Сила реакции упругого основания на единицу длины тогда будет равна αw, и направлена в сторону, противоположную прогибу. Т.о., дифференциальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании имеет вид:

где q(z) − обобщённая внешняя нагрузка, учитывающая все силы и моменты. Дифференциальное уравнение (6) дополняется 4 граничными условиями: по 2 на левом и правом концах, в зависимости от условий закрепления.

Решение уравнения (6) удобно записывать через функции Крылова:

Эти функции обладают свойством:

Если ввести в рассмотрение приведённую длину:

то общее решение дифференциального уравнения (6) записывается в виде:

Здесь EJxw0 − прогиб в левом сечении (с точностью до множителя EJx), EJxθ0 − угол поворота левого сечения (также с точностью до множителя EJx), M0 и Q0 − изгибающий момент и перерезывающая сила в левом сечении. Во второй строке в 1-й и 2-й суммах ak − точка приложения сосредоточенного момента или силы; в 3-й и 4-й суммах ak − начало приложения распределённой нагрузки, в bk − конец. В каждой из сумм суммирование проводится по всем силовым факторам, расположенным слева от текущего сечения.

Неизвестные начальные параметры EJxw0, EJxθ0, M0 и Q0 находятся из граничных условий. Всего таких условий 4: по 2 на каждом краю балочки. Составив соответствующую систему уравнений и решив её, мы найдём эти начальные параметры.

Далее последовательное дифференцирование выражения (10) даёт угол поворота:

изгибающий момент:

и перерезывающую силу:

По выражениям (10-13) можно построить эпюры.

Ввод исходных данных

В данном методическом пособии можно использовать такие нагрузки:

На концах можно задавать такие условия закрепления:

Если в вашем вузе преподаватели задают студентам другие виды нагружения (распределённые моменты, линейную нагрузку и т.п.), промежуточные опоры или другие граничные условия (например, упругая заделка), − напишите мне, и мы вместе доработаем это пособие.

Исходными данными для выполнения этого ИДЗ являются длина балочки L, граничные условия, данные по двутавровому сечению, физические характеристики материала балки и упругого основания, и нагрузка на неё: значения M, F, q и точки (интервалы) их приложения. Заметим, что здесь сечение нужно задать заранее, т.к. его данные входят в коэффициенты дифференциального уравнения (6) через множитель α (5). Задайте исходные данные в нижеприведенных областях ввода.

Измените при необходимости эти данные:
Длина балочки L (м):
Граничное условие слева:
Граничное условие справа:
Модуль упругости E (МПа):
Жёсткость упругого основания c (Н/м3):
Номер профиля двутаврового сечения:
Добавьте нужные нагрузки:
Изгибающий момент M
и точка a его приложения
M (кНм):
a (м):
Сосредоточенная сила Q
и точка a её приложения
Q (кН):
a (м):
Равномерно распределённая нагрузка q
и интервал (a, b) её приложения.
q (кН/м):
a (м):
b (м):

Проверьте, правильно ли вы задали исходные данные. Если да, то идём дальше.

Нахождение начальных параметров

Наша балочка является статически неопределимой: неизвестные начальные параметры не могут быть найдены из уравнений статики. Они находятся из граничных условий. Для нахождения этих 4 неизвестных начальных параметров у нас есть столько же уравнений: по 2 каких-либо параметра на каждом краю балочки равны нулю − всего 4 уравнения.

В зависимости от вида граничных условий будут равны нулю:

  1. в жёсткой заделке − перемещение и угол поворота;
  2. при шарнирном закреплении − перемещение и изгибающий момент;
  3. на свободном краю − изгибающий момент и перерезывающая сила.

Вначале найдём точки переключения аналитических выражений в формулах (10-13). Это будут: начало и конец балочки и точки приложения всех силовых факторов (для распределённой нагрузки q берём и начало, и конец приложения). Запишем также характеристики выбранного двутаврового сечения и другие необходимые для расчёта данные.

Запишем теперь систему уравнений для определения начальных параметров и решим её. Первые 2 уравнения − это граничные условия на правом конце балочки, а 3-е и 4-е уравнения − на правом конце.

Построение эпюр

Теперь, когда мы вычислили все необходимые данные для формул (10-13), строим эпюры перемещений, углов поворота, изгибающих моментов и перерезывающих сил. Вначале записываем аналитические выражения на каждом участке, а затем строим графики. Перемещения и углы поворота строим в натуральном масштабе.

Подбор сечения по условиям прочности

Найдём максимальный (по модулю) изгибающий момент Mmax и сечение, в котором он достигается (опасное сечение).

Из соотношения:

находим максимальное нормальное напряжение в опасном сечении. Проверим теперь касательные напряжения. В каждом сечении они подсчитываются по формуле Журавского:

Как правило, касательные напряжения значительно меньше нормальных в одном и том же сечении, к тому же они достигаются на разных волокнах: нормальные − на крайних, а касательные − в середине сечения. Поэтому опасными является обычно нормальные напряжения.

Нарисуем распределение нормальных и касательных напряжений по сечению. Нормальные напряжения распределены линейно, а касательные − по параболе. Мы строим эпюру распределения касательных напряжений приближённо: заменяем двутавр набором прямоугольников. Вычисляем по формуле (15) напряжения в крайних волокнах тонкой вертикальной стойки и во внутренних волокнах широкой горизонтальной полки. На стойке строим параболу, а на короткой полке ограничимся прямолинейным отрезком. Рисуем сечение, распределение нормальных и касательных напряжений в опасном сечении (там, где достигается Mmax), и распределение касательных напряжений в том сечении, где достигается Qmax.

Если максимальное напряжение не достигают допускаемого, можно подобрать более лёгкий двутавровый профиль из списка. А если, наоборот, превышает, выберите более тяжёлый.

Что делать дальше

Возможно, Вы захотите распечатать результаты. Если перебросить содержимое, например, в Office-Word, то формулы и графики исказятся, т.к. они сделаны не в виде рисунков, а в виде встроенных объектов. Поэтому лучше распечатывать страницу непосредственно из обозревателя.

Литература

  1. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.: Отв. Ред. Писаренко Г.С. − 2-е изд., перераб. и доп. − Киев: Наукова думка, 1988. − 736 с. − ISSN 5-12-000299-4.