Введение

Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс сопротивления материалов. С его помощью Вы освоите тему "Моменты инерции плоских сечений". Прямо из этого пособия Вы можете посчитать своё ИДЗ, даже если у Вас нет на компьютере MATLAB. Если же у Вас есть MATLAB, перейдите на эту страницу: там у Вас есть возможность вмешаться в сценарий (программу) вычислений. Здесь же выполнение ИДЗ проводится по стандартному сценарию, который обычно используется в вузах при изучении курса сопромата.

Для правильной работы с этой страницей Ваш браузер должен поддерживать сценарии Java Script. Включите их.

Как правило, индивидуальное домашнее задание по этой теме является первым ИДЗ по сопромату, которое выполняют студенты. Здесь обычно задаются несколько профилей (двутавры, швеллеры, уголки и т.д.), соединённых друг с другом, и требуется вычислить геометрические характеристики такого сложного сечения и найти главные центральные оси инерции.

Данное пособие позволит вам упростить выполнение этого ИДЗ. Как и любой помощник, оно не избавляет вас от необходимости думать. Используя это пособие, вы получите техническую помощь, избавитесь от досадных ошибок вычислений, но понимать существо проблемы вы всё равно должны. Но не пугайтесь: если вы смогли найти эту страницу в Internet, то разобраться в выполнении этого задания сможете наверняка.

В данном методическом пособии можно использовать такие простые сечения:

Если в вашем вузе преподаватели задают студентам другие профили − напишите мне, и мы вместе доработаем это пособие.

Таблицы для сортаментов взяты из [1]. Красная точка на каждом рисунке − это точка привязки (см. далее Ввод исходных данных).

Ввод исходных данных

Исходными данными для выполнения этого ИДЗ являются различные профили, каким-либо образом соединённые между собой. Для ввода ИД нам нужно знать:

Для ввода исходных данных предназначены находящиеся ниже поля ввода, списки и кнопки. Выберите нужные профили и добавьте их на рисунок. Для прямоугольной полосы нужно задать её размеры (ширину b и высоту h), а для остальных профилей − их номера (сортамент). Кроме того, нужно также задать взаимное расположение профилей. Для этого и существует точка привязки. Чтобы указать положение профиля на чертеже, нужно задать координаты точки привязки и угол поворота профиля относительно стандартного положения, показанного на рис.1-6. Укажите координаты точки привязки x0 и y0 (в сантиметрах) и угол поворота каждого профиля α (в градусах, положительный − против часовой стрелки).

Добавьте нужные профили
b (см) h (см) x0 (см) y0 (см) α (градусов)
Двутавр
Швеллер
Уг. равн.
Уг. нер.
Уг. нер. отр.

Проверьте, правильно ли ввелись ваши исходные данные. Если да, то можете переходить к следующему пункту.

Нахождение центральных и главных центральных осей инерции

Если Вы ввели исходные данные, то в последней таблице приведены взятые из таблиц (или посчитанные) моменты инерции относительно центра тяжести для фигур, положение которых показано на рис.1-6. У нас же некоторые из фигур повёрнуты на угол αk. При таком повороте новые моменты инерции относительно центра тяжести вычисляются через старые по формулам:

Здесь Jxk, Jyk и Jxyk − моменты инерции неповёрнутого k-го сечения, Jx1k, Jy1k и Jxy1k − моменты инерции повёрнутого k-го сечения, αk − угол поворота k-го сечения.

Координаты центров тяжести сечений в этой таблице также записаны для неповёрнутых фигур и относительно их точки привязки. У нас же каждая фигура может быть повёрнута и смещена. Для вычисления новых координат центра тяжести через старые применяются формулы поворота и параллельного переноса:

Здесь xc0k, yc0k − координаты центра тяжести k фигуры относительно её точки привязки (старые); xc1k, yc1k − координаты центра тяжести k фигуры относительно начала нашей системы координат (новые); x0k, y0k − координаты точки привязки k фигуры в нашей системе координат. Считаем по формулам (1-5) и печатаем результаты.

Находим центр тяжести сечения по формулам:

Здесь xc1k, yc1k − координаты центра тяжести k фигуры, Fk − её площадь; xc, yc − координаты центра тяжести всего сечения. Считаем по формулам (6-7).

Перенесём начало координат в найденную точку. Оси полученной системы координат называются центральными (пока ещё не главными центральными, а просто центральными). Для такого переноса нужно из координат центра тяжести каждой фигуры xc1k, yc1k отнять координаты общего центра тяжести xc, yc:

Кроме того, вычислим моменты инерции каждой фигуры относительно общего центра тяжести xc, yc. Для этого применяем формулы:

Находим общие моменты инерции всего сечения − это суммы моментов инерции отдельных профилей:

Теперь переходим к нахождению главных центральных осей инерции и главных моментов инерции. Мы знаем, что при повороте сечения на угол α моменты инерции изменяются по формулам (1-3). При повороте на некоторый угол можно добиться того, что центробежный момент инерции станет равным нулю. Полученные оси и называются главными центральными. Соответствующий угол поворота получим, приравнивая выражение (3) нулю (конечно, не для отдельного профиля, а уже для всего сечения):

Обозначим полученные главные центральные оси uOv. В этой системе моменты инерции (они называются главными) будут определяться по формулам типа (1-3), но с отрицательным α, т.к. мы поворачиваем не профиль, а оси:

Если всё правильно проделано, должно получиться Juv = 0. Главные центральные моменты инерции обладают тем свойством, что Ju − это минимальный из всех возможных осевых моментов инерции, а Jv − максимальный. Находим положение главных центральных осей и значения главных моментов инерции.

Что делать дальше

Возможно, Вы захотите распечатать результаты. Если перебросить содержимое, например, в Office-Word, то формулы и графики исказятся, т.к. они сделаны не в виде рисунков, а в виде встроенных объектов. Поэтому лучше распечатывать страницу непосредственно из обозревателя.

Литература

  1. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.: Отв. Ред. Писаренко Г.С. − 2-е изд., перераб. и доп. − Киев: Наукова думка, 1988. − 736 с. − ISSN 5-12-000299-4.